Függvények ábrázolása 2.

Nézzünk nem első fokú függvényeket, azaz amikor az ”x kitevője nem 1”.
Nézzük a legegyszerűbb függvényt, ami f(x)=x²  . Néhány értéket behelyettesítve f(0)=0-> (0;0)  f(1)=1 -> (1;1) f(-1)=1 -> (-1;1) f(-2)=4 ->(-2;4)  f(2)=4 -> (2;4) stb... ábrázolva :

4. ábra

Konstanst hozzáadva vagy kivonva ugyanaz az analógia mint az egyenesnél, azaz függőleges eltolást okoz felfelé vagy lelelé. pl f(x)=x² -2, 0-ban a -2-t veszi fel onnan meg a függvény alak nem változik, azaz egyet jobbra egyet fel, kettőt jobbra négyet fel, hármat jobbra kilencet fel, stb... nyugodtan írjunk be pár írtékét mindig ellenőrzésképp.

 

5. ábra

Eltolás vízszintesen, azaz balra vagy jobbra az x tengely mentén. ezek a tipikus (x-2)² alakú függvények, melynek a ”alja” mindig ott van ahol a zárójelen belüli érték zérus. Azaz x-2=0, tehát x=2 -nél lesz 0 a függvény értéke.

A fenti kettő elegyéből adódik az általános eset, pl f(x)=(x+2)² -3 piros függvény („kettőt balra hármat le” a kezdő ponthoz), vagy a kék függvény, ami g(x)=(x+2)² +2, („kettőt balra kettőt fel” a kezdő ponthoz). Természetesen itt is beírhatunk pár próba pontot, nevezetesen az x=-2 -nél a két függvény f(-2)= -3,  g(-2)=+2 értéket veszi fel, ahogyan azt vártuk is.

6. ábra

Amennyiben általános esette van dolgunk pl  2x²-8x-10 akkor használjuk a megoldó képletet, ha nem megy fejből, akkor négyjegyű függvény táblából.

x_1,2-re kapjuk hogy 5 és -1, azaz itt metszik az x tengelyt.

Mádik megközelítés, rendezgetve az egyenletet, a számunkra jól kezelhető formára is hozhatjuk

 

( esetleg a gyököket ebből szintén megkapjuk rendezve a két megoldást x-2=3, illetve x-2=-3 esetre, újfent kijön, hogy x₁=5; x₂=-1)
Ábrázolni pedig néhány érték beírásával  tudjuk könnyedén, vagy pedig az (x-2)² -9 alakból, kettőt jobbra 9-et le a függvény ”talppontjához”. Ezek után egyet jobbra egyet fel, majd egyet jobbra egyet fel stb...

amennyiben x² együtthatója negatív, (55-ös és 57-s) akkor fejjel lefelé áll a függvény, még néhány példa:
 

Nézzük a gyökös függvényeket.

Legegyszerűbb függvényt ábrázolva: (ismét néhány értéket behelyettesítve  f(0)=0, f(1)=1; f(4)=2, stb... negatív számok halmazán nem értelmezett esetünkben, így csak a ”jobb oldalon helyezkedik el a függvény”)

 

A bonyolultabbaknál, mindig lehet néhány értéket behelyettesíteni, illetve a korábbi fenti szabályok ami a másodfokú függvényeknél érvényes volt az ugyanúgy megy itt is. Jelesül konstans hozzáadása függőleges eltolást eredményez (le, fel), gyökön belüli kivonás vagy hozzáadás vízszintes eltolást eredményez, néhány példa:

 

Trigonometrikus és exponenciális függvények alap verziója mind benne van a négyjegyű függvénytáblázatban, általában nem szokták ezeket már annyira bonyolítani egy középszintű érettségin, de a következő cikkben párat megnézünk ezekből is...